Noticias de Ciencia y Tecnología de aunmas
Noticia Número 21
Aunmas_ciencia_021
21 Noviembre 2002
Juan Chamero
Fuentes:
Extractado de un artículo de Manus J. Donahue III, de la Universidad Duke de Estados Unidos.
La Página de Teoría del Caos de Meg Rae


Introducción a la teoría del Caos

Por culpa de un clavo, se pierde la herradura,
Por culpa de la herradura se pierde el caballo,
Por culpa del caballo, se pierde el jinete,
Por culpa del jinete, se pierde el mensaje,
Por culpa del mensaje, se pierde la batalla,
Por culpa de la batalla, se pierde el Reino.



Order dentro de un caos aparente
Fractal logo de la IMA, el Instituto de Matemáticas y sus Aplicaciones
El mundo de las matemáticas durante muchos siglos estuvo confinado al mundo lineal, lo que significa que a los sistemas dinámicos del mundo real, en su mayoría representables por sistemas de ecuaciones no lineales, se los consideraba de comportamiento aleatorio e impredecible. Los únicos sistemas comprendidos eran los sistemas lineales o que seguían comportamientos representables en forma satisfactoria por sistemas de ecuaciones lineales.

Sin embargo, el mundo en que vivimos es esencialmente un mundo no lineal, donde la linealidad es bien escasa y la pregunta que se hacían los científicos era: ¿Cómo puede comprenderse un mundo no lineal en un mundo ideal, confinado a ser simple y donde todo es lógicamente lineal?. Según el autor, de ésta pregunta surgen las bases de una nueva ciencia: La Teoría del Caos.

Su nombre Teoría del Caos parece contrario a la razón, pareciéndose a algo de un oxímoron, es decir, una combinación de una misma estructura sintáctica de dos significados opuestos, que sin embargo puede dar lugar a un nuevo sentido.

Su nombre conduce al lector a pensar que los matemáticos han descubierto algún conocimiento nuevo y definitivo sobre extraños fenómenos aleatorios, lo cual no es el caso. Una definición aceptable establece:

Teoría del Caos es un estudio cualitativo del comportamiento inestable y aperiódico de sistemas dinámicos determinísticos y no lineal.

Un sistema dinámico puede ser definido como un modelo simplificado de un sistema real, de comportamiento variable en el tiempo, y comportamiento aperiódico es simplemente el comportamiento que ocurre cuando ninguna variable descriptiva del estado del sistema experimenta una repetición regular de valores. El comportamiento aperiódico nunca se repite y continúa manifestando los efectos de cualquier perturbación por pequeña que ésta sea y de aquí surge que para cualquiera de estos sistemas aperiódicos cualquier predicción de estados futuros es imposible. Poniendo un ejemplo relevante, miremos la historia de la humanidad. La historia es aperiódica y a pesar de que pueden encontrarse ciertos patrones en el nacimiento y ocaso de las civilizaciones, los eventos no se reproducen jamás de la misma forma.

Lo realmente increíble acerca de ésta teoría es que comportamientos aperiódicos e inestables pueden ser encontrados incluso en simples sistemas matemáticos. El comportamiento de estos sistemas matemáticos se muestran tan complejo e impredecible que pueden aceptarse como azar.

Cabe ahora preguntarse: Si los sistemas caóticos son tan importantes en nuestra vida cotidiana, ¿porqué recién comienzan a ser estudiados ahora?. La respuesta puede ser dada con una sola palabra: Computadoras. Los cálculos involucrados en ésta teoría son repetitivos, aburridos y medidos en millones de operaciones. Ningún ser humano sería lo suficientemente estúpido como para soportar tal aburrimiento mientras que las computadoras aceptan el desafío. Las computadoras han sido siempre conocidas por su excelencia en cálculos repetitivos y por eso son nuestros telescopios para el estudio del caos. Es imposible explorar el caos sin el auxilio de las computadoras.

Antes de avanzar en las áreas más avanzadas y precoces del caos es necesario introducirnos en los principios básicos que describen adecuadamente ésta teoría, el Efecto Mariposa, que fue vagamente comprendido desde hace siglos y sintetizado en la expresión folclórica siguiente:

Por culpa de un clavo, se pierde la herradura,
Por culpa de la herradura se pierde el caballo,
Por culpa del caballo, se pierde el jinete,
Por culpa del jinete, se pierde el mensaje,
Por culpa del mensaje, se pierde la batalla,
Por culpa de la batalla, se pierde el Reino.
Pequeñas variaciones de las condiciones iniciales pueden resultar en gigantescas transformaciones dinámicas, por ejemplo, la pérdida de un clavo ocasiona la pérdida de un imperio. En la vida real, sistemas dinámicos que aparentan ser similares e incluso idénticos pueden divergir en el tiempo hasta desaparecer toda similitud.

Quizá el símbolo más identificable ligado al Efecto Mariposa es el famoso Atractor de Lorenz. Edward Lorenz un meteorólogo curioso estaba buscando construir un modelo del comportamiento caótico de un sistema gaseoso. Para ello, tomó unas ecuaciones del campo de la física de la dinámica de los fluidos, las simplificó y obtuvo el siguiente sistema tridimensional

dx/dt=delta*(y-x)
dy/dt=r*x-y-x*z
dz/dt=x*y-b*z
donde delta representa el ¨número Prandtl¨, o sea, el cociente entre la viscosidad fluida de una sustancia y su conductividad térmica. No obstante, para simplificar aún más la cosa Lorenz le asigna arbitrariamente el valor 10.



Los resultados de estas ecuaciones parecían ser al azar, pero cuando eran graficados apareció algo sorprendente: Los resultados se ubicaban siempre sobre una curva de espiral doble como la que se ve en la figura. Los órdenes que se conocían hasta ese entonces eran: los estados estables, valga la redundancia, en los cuals las variables nunca cambian y los comportamientos periódicos, en los cuales los resultados entran en lazos, repitiéndose sobre los mismos en forma indefinida. Las ecuaciones investigadas por Lorenz, en cambio, aparecían también como ordenadas en el espacio de los resultados, siguiendo recorridos en espiral, sin detenerse en ningún punto ni pasando dos veces por el mismo recorrido. A la imagen de esos trazos en el espacio de los resultados Lorenz lo denominó Atractor.

Lorenz que era un meteorólogo, descubrió algo muy importante en el año 1963, que le sirvió de base científica para afirmar que el clima es impredecible en forma precisa. Desafortunadamente éste logro permaneció escondido durante mucho tiempo.

Un sistema real dependiente de las condiciones iniciales muy simple es la tirada de una moneda. Éste sistema se controla mediante dos variables, la velocidad con la que golpea en el suelo y las características de su rotación. El control sobre éstas variables puede ser mantenido dentro de bandas pero no fijado en forma precisa, con lo cual no es posible determinar el valor de la cara que queda mirando hacia arriba.

Benoit Mandelbrot, un matemático empleado de IBM, creador de los Fractals o Figuras de Mandelbrot, encontró curiosos patrones de comportamiento estudiando las series estadísticas de las fluctuaciones de los precios del algodón. Las series no se acomodaban a la distribución estándar, pero los datos que provocaban el apartamiento de esa distribución producían simetrías desde el punto de vista de factores de escala. Lo precios eran al azar y no predecibles pero las secuencias de los cambios resultaron ser independientes de la escala, a saber, las curvas de precios diarios y mensuales se apareaban perfectamente. Analizando de ésta modo las series a lo largo de u período de más de 60 años, pasando por dos guerras mundiales y una depresión mundial.

Otro fenómeno que analizó Mandelbrot fue la longitud de las líneas costeras. Cuanto más precisa es la escala más bahías, mini, mili y micro bahías aparecen. Ante éste fenómeno natural podría decirse que no es posible definir la longitud de una línea costera.

Otra curiosidad es la Paradoja de Helge Von Koch, otro matemático. Se parte de un triángulo equilátero. En la mitad e cada lado se agrega otro triángulo equilátero y así siguiendo. Como éste proceso puede extenderse al infinito llegamos a la paradoja de una línea de extensión infinita dentro de un área finita.



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